31/08/12 - (MATEMATICA) Equação 2º Grau

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta

Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.

-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.

Resolução de equações do 2° grau

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula Geral de Resolução

Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:

Resolução de equações do 2° grau incompletas

Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada   para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:

Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

Discriminante da equação do 2° grau

O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b² - 4ac, isto é: Δ = b² - 4ac.

Discriminante menor que zero

Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois :

Discriminante igual a zero

Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois :

Discriminante maior que zero

Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :

Conjunto Verdade de equações do 2° grau

A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:

E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:

Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau

Encontre as raízes da equação: 2x² - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:

Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

 

As raízes da equação 2x² - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.

EXERCICIOS

1. Resolva as seguintes equações do 2º grau, sendo o conjunto U = R:

a) x2 + 7x = 0   S = {0, -7}

b) -3x2 + 9x = 0   S = {0, 3}

c) 2x2 + 3x = 0   S = {0, 3/2}

d) (y + 5)2 = 2x + 25   S = {0, - 8}

d) x2 + 9x = 0   S = {0,-9 }

e) (y + 5)(y – 1) = 2y – 5   S = {0, - 2}

e) y2 – 10 = 0   S = { }

f) 2x2 + 50 = 0    S = { }

g) -5r2 + 20 = 0   S = {-2, 2}

h) 9a2 = 25   S = {-5/3, 5/3}

i) (b + 6)(b – 4) = 2b + 12   S = {-6, 6}

j) 5y2- 9y – 2 = 0   S = {2, -1/3}

k) x2 – 9x + 20 = 0   S = {4, 5}

l) y2 + 9y + 14 = 0   S = {-2, -7}

m) b2 – 3b – 10 = 0   S = {-2, 3}

n) 2y2 + 7y + 6 = 0   S = {-2, -3/2}

o) 4y2 – 4y + 2 = 0   S = { }

p) 5t2 – 9t + 4 = 0   S = {1, 4/5}

q) 21m2 –26x + 8 + 0   S = {2/3, 4/7}

r) 4p2 – 20p + 25 = 0   S = {5/2}

s) x(x + 3) = 5x + 15   S = {-3, 5}

t) 2(a – 5) = a2 – 13   S = {-1, 3}

u) x2 + 14x + 49 = 0   S = {-7}

v) 9y2 – 24y + 16 = 0   S = {4/3}

x) (3y + 2)(y – 1) = y(y + 2)   S = {2, -1/2}