27/08/12 - MATEMÁTICA (RAZÃO E PROPORÇÃO)

Razão

Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

As razões acima podem ser lidas como:

• razão de a para b
• a está para b
• a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

e

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1. Isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

e 

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0, 75, pois 3: 4 = 0,75 na forma decimal.

Razão centesimal

Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0, 75, pois 3: 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.

Exemplos

O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?

Temos: Salário de Paulo: Salário de João.

Então:

A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.

Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.

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Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?

Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80m é equivalente a 180 cm. Temos então a razão de 180 cm para 80 cm:

2,25 é a razão de nossas alturas.

Proporção

A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a: b for igual à razão c: d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10: 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14: 7 = 2).

Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

          ou     

Ou

            ou     

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

ou

Ou

ou

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exemplos

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?

Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.

Temos então:

Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.

Poderíamos também ter analisado as duas razões:

Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.

Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.

A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.

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A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

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Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do número x é 20.

Exercícios

1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?

Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b está para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. 

Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto: Chegamos então que os dois números são 240 e 270.

2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b? 

Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto: Os dois números são 96 e 120.

3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b? 

Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:

Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. Substituindo tais valores teremos:

Portanto: Os dois números são 117 e 63.

4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números? 

Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:

sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos:

 

Portanto: Chegamos então que os dois números são 299 e 247.

5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 

Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto: Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos.

6) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?

Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto: 75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b.